ใส่ความเห็น

เวกเตอร์ ตอนที่ 1

เวกเตอร์

เวกเตอร์  นิยาม และการบวก

ปริมาณทางฟิสิกส์ที่ใช้อธิบายธรรมชาติมีหลายชนิด แต่ทั้งหมดแบ่งได้เป็นสองพวกใหญ่ๆ คือ

1) ปริมาณที่เป็น เวกเตอร์ (Vector)ซึ่งเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น การกระจัด (Displacement), แรง (Force), ความเร็ว (Velocity) และ ความเร่ง
(Acceleration)

2) ปริมาณที่เป็น สเกลาร์ (Scalar) ปริมาณประเภทนี้จะมีเพียงขนาดเท่านั้น เช่น ระยะทาง (Distance) มวล(Mass), อัตราเร็ว (Speed) และความหนาแน่น(Density)

เนื่องจากเวกเตอร์เป็นที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เราอาจใช้เส้นตรงที่มีลูกศร แทนเวกเตอร์ โดยที่ความยาวของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ และ ทิศของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ดังตัวอย่างในรูปข้างล่างนี้ เส้นตรง OP ที่มีลูกศรกำกับ แทนเวกเตอร์อันหนึ่งซึ่งมีขนาดเท่ากับ
ความยาวของ OP และมีทิศจาก O ไปสู่ P


ในกรณีที่ใช้สัญลักษณ์ อาจใช้ตัวอักษรที่มีลูกศรกำกับข้างบน เช่น  แทนเวกเตอร์ A หรือ แทนเว็กเตอร์จาก O ไป P ดังรูปข้างบน ในหนังสือบางเล่มอาจจะใช้สัญลักษณ์ตัวพิมพ์หนา เช่น OP, A, V, a เป็นต้น

การเท่ากันของปริมาณเว็กเตอร์

ถ้ามีเวกเตอร์สองอัน A และ B เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เป็นเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดเท่ากันและชี้ในทิศทางเดียวกัน (ไม่จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นเดียวกัน หรืออยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน)อย่างในรูปข้างล่าง==


นิยาม Negative vector

เราเรียกเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับแต่มีทิศตรงกันข้ามว่า-


การบวกเวกเตอร์

ให้และเป็นเวกเตอร์ซึ่งทำมุมระหว่างกัน และให้เว็กเตอร์เป็นผลบวกเวกเตอร์ของกับหรือ=+โดยให้ทำมุมกับการบวกแวกเตอร์นี้สามารถแสดงโดยวิธีหางต่อหัว ดังรูปข่างล่างนี้

ขนาดของเวกเตอร์หรือ(หรือบางครั้งอาจเขียน C เฉยๆ) สามารถคำนวณได้จาก โดยทิศทางของเวกเตอร์จะทำมุมกับเวกเตอร์เป็นมุมเท่ากับโดย


การลบเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์โดยการเขียนรูปใช้หลักการเดียวกับการบวกเวกเตอร์เพียงแต่กลับทิศเวกเตอร์ด้วยเครื่องหมายลบ

ขนาดของเวกเตอร์หรือสามารถคำนวณได้จาก

และ

คุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์

เมื่อเป็นปริมาณสเกลาร์


องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และการเปลี่ยนพิกัด

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

ถ้าเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับโดยที่ต้องไม่เป็นศูนย์ เราสามารถนิยามเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับแต่มีขนาดหนึ่งหน่วยได้

นิยาม

ถ้ากำหนดให้คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแล้วจะได้ว่าหรือ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญมากคือ เวกเตอร์ชุด,และซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษดังนี้

1. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งสามตั้งฉากกัน

2. โดยทั่วไปถือว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็น เวกเตอร์คงที่ คือนอกจากขนาดจะคงที่แล้วทิศทางยังคง
ที่ด้วย

3. ในปริภูมิ 3 มิติเวกเตอร์ชุดนี้เรียงลำดับ ตามกฎมือขวา ดังรูปข้างล่างนี้

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์ใดๆสามารถที่จะเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของเวกเตอร์ย่อยๆ หลายๆอันได้ โดยเราอาจเลือกเวกเตอร์ย่อยเหล่านั้นให้อยู่ในทิศเดียวกัน กับ unit vectors ,และ ซึ่งในกรณีนี้เราเรียกเวกเตอร์ย่อยเหล่านี้ว่า “ส่วนประกอบของเวกเตอร์” หรือ Components of vector วิชานี้เราจะพิจารณาส่วนประกอบของเวกเตอร์ในกรณีของ 2 และ 3 มิติ

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ให้เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ ซึ่งมีขนาดเท่ากับโดยที่, เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตาม
แกน x และ y ตามลำดับ

นิยามกับเป็นส่วนประกอบเวกเตอร์ตามแนว x และ y

ถ้า  เป็นมุมที่เวกเตอร์กระทำกับแกน x เราจะได้ว่า 
และ
และ

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 3 มิติ

ให้เป็นเวกเตอร์ในระบบ 3 มิติ ที่มีขนาดและมี,,  เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์

ความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์

บางคนอาจจะสับสนระหว่าง องค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งถ้ายึดนิยามที่ว่าปริมาณสเกลลาร์คือปริมาณที่มีแต่ขนาดและไม่มีทิศทางอาจทำให้สับสนว่าองค์ประกอบเวกเตอร์เป็นปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งไม่ใช่ ดังนั้นนิยามที่ชัดเจนของปริมาณสเกลลาร์และเวกเตอร์จึงน่าจะเป็นประโยชน์
ซึ่งอาจจะพิจารณาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

พิจารณาวัตถุซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง A เวกเตอร์ซึ่งบอกตำแหน่ง ที่จุด A สามารถเขียนในพิกัดสองมิติบนระนาบ x-yได้เป็น เมื่อคือขนาดของเวกเตอร์และ ,, คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัด x-y โดยทั่วไปแล้วเราไม่จำเป็นต้องบรรยายปรากฏการณ์ต่างๆด้วยกรอบอ้างอิงเดียว สำหรับผู้สังเกตหลายคนแต่ละคนอาจจะทำการทดลองโดยใช้กรอบอ้างอิงของตัวเอง อย่างไรก็ตามผลทางฟิสิกส์ย่อมจะไม่ขึ้นกับพิกัด หรือกรอบอ้างอิงที่ใช้ เราจะเห็นความสำคัญของหลักการนี้มากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาทฤษฎีสัมพัทธภาพ

กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น สมมุติว่ามีเพื่อนของเราอีกคนหนึ่งใช้พิกัดที่ต่างกับเรา (พิกัด x’-y’)ซึ่งสัมพันธ์กับพิกัดเดิมโดยการหมุนแกน x-y ไปเป็นมุมดังรูป จะสามารถบรรยายตำแหน่งของจุด A ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่งเช่นเดิม แต่ในพิกัดใหม่ x’-y’ นี้ จะสามารถ
เขียนได้เป็น

เมื่อและคือองค์ประกอบเวกเตอร์ตามแนวแกน x’ และ y’ ส่วนและคือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดใหม่

จากรูปจะเห็นว่าและนี่คือความจริงที่ว่า องค์ประกอบของเวกเตอร์สามารถ
เปลี่ยนแปลงได้ เมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด เราอาจจะพิสูจน์ได้ง่ายๆว่าขนาดของเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณ
สเกลลาร์จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง

นิยามของปริมาณสเกลลาร์ที่รัดกุมขึ้น คือปริมาณที่มีแต่ขนาดไม่มีทิศทาง และไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้การแปลง coordinates ตัวอย่างเช่น มวลของอนุภาค เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่ว่าจะใช้ Coordinates ใดอธิบายก็มีค่าเท่าเดิม

สิ่งที่เราควรจะทราบคือในกลศาสตร์นิวตัน เวลา () และ ช่วงเวลา () ถือเป็นปริมาณสเกลลาร์ เวลาสำหรับทุกๆผู้สังเกตผ่านไปด้วยอัตราเร็วเท่ากัน นั่นคือเวลาเป็นสิ่งสมบูรณ์ (absolute quantity) แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ซึ่งเราจะได้ศึกษากันต่อไป เหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งเป็นจุดหนึ่งใน space-time 4มิติืช่วงเวลา กลายเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Four-vectors) ซึ่งขึ้นกับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต และไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม มวลนิ่ง (rest mass) ของวัตถุ และอัตราเร็วของแสง ยังคงเป็นปริมาณสเกลลาร์ มีค่าไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต

แหล่งที่มา: วิชาการ.คอม

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: